习题 10, § 2

(a) 令$A'$为两个不定式中的多项式环$\mathbf{Z}[X, Y]$，并令$\sigma$为$A'$的自同构，使$Y$不变，使得$\sigma(X) = -X$； $\sigma$，$A'$的自同构和$\mathscr{G}$的不变量环的恒等式自同构形式群$\mathscr{G}$是$A = \mathbf{Z}[X^2, Y]$。设$p'$为素理想$A'(Y - 2X)$、$p = A \cap p'$； 分解群 $\mathscr{G}^{\mathbf{Z}}(p')$ 减少为单位元素。证明 $A/p$ 和 $A'/p'$ 不是同构的（考虑这些环中的张量积与 $2/22$）。

(b) 令$\neq 2$的特征$K$为域，身份的$A'$由……组成的$A'$多项式环$K[X, Y]$和$\mathscr{G}$自同构群以及$K[Y]$-$A'$的自同构$\sigma$使得$\sigma(X) = -X$； $\mathscr{G}$的不变量$A$的环是$K[X^2, Y]$。设$p'$为$A'$和$p = A \cap p'$的素理想$A'(X^3 - Y)$； 分解群 $\mathscr{G}^{\mathbf{Z}}(p')$ 简化为单位元素，但 $A/p$ 和 $A'/p'$ 不是同构的。