习题 13, § 2

(a) 令$K$为特征0的域，$n$为由$Y^2 - X^2 - X^3$生成的多项式环$K[X, Y, Z]$的理想值。证明$n$是素数且整环$A = K[X, Y, Z]/n$不是整闭：如果$x, y, z$是$A$中$X, Y, Z$的像，分数域元素$t = y/x$ $A$ 的$L$ 是$A$ 的积分，但不是属于到$A$ 的积分。令$A' \supseteq A$为$L$的子环$K[x, t, z]$，它是$A$的积分。考虑$A$中由$xz - y$和$z^2 - 1 - x$生成的素理想$p$以及由$x, y, z - 1$生成的极大理想$q \supset p$。另一方面考虑$A'$由$x, t + 1$和$z - 1$生成的最大理想$q'$；证明$q'$位于$q$之上，但不存在位于$p$之上的$A$的素理想$p' \subset q'$。 （考虑$K$从$A'/pA'$到扩张域的同态，并证明在这样的同态下$q'$的像必然为0。）

(b) 根据$2X$和$X^2 - X$生成的理想$n$，令$A'$为多项式环$\mathbf{Z}[X]$之商环；设$x$为$A'$中$X$的像； $A'$ 是 $\mathbf{Z}$ 的积分，但数 2 是 $A'$ 中 0 的除子。设$q'$为2和$x - 1$生成的$A'$的素理想；然后$q' \cap \mathbf{Z} = 2\mathbf{Z}$；如果$p$是$\mathbf{Z}$中的素理想（0），则证明$p$之上的$A'$中不存在素理想$p' \subset q'$。

(c) 设$K$为域，$n$由$X^2, XY, XZ, YZ - Y$和$Z^2 - Z$生成的多项式环$K[X, Y, Z]$的理想，$A'$商环$K[X, Y, Z]/n$，$x, y, z$像 $A'$ 和$A$ 子环 $K[x, y]$ 中的$X, Y, Z$；$A'$； $A$ 在分数的总环中是积分闭的，$A'$ 是$A$ 上的积分。考虑$A$中由$x$生成的素理想$p$以及由$x$和$y$生成的极大理想$q$。另一方面考虑$A$由$x, y, z$生成的最大理想$q'$；证明$q'$位于$q$之上，但不存在位于$p$之上的素理想$p' \subset q'$（与(a)中的方法相同）。

从几何角度解释 (a) 和 (c) 中的例。 \*