习题 1, § 3

令$A$为环，$\mathfrak{p}$为$A$的素理想，$B$为有限生成的$A$代数，并令$r_1 \subset \ldots \subset r_m$为上面的$B$理想的非空递增序列 $\mathfrak{p}$。证明存在元素 $a \in A - \mathfrak{p}$ 和$(y_k)_{1 \leq k \leq q}$ of 元素 of $B$ 具有以下性质：

(1) 如果我们写$B' = A[y_1, \ldots, y_q]$，并且如果$S$是$a$的幂的集合，则环$S^{-1}B$是$S^{-1}B'$的积分。

(2) 对于所有$i$使得$1 \leq i \leq m$存在整数$h(i) \geq 0$使得$r_i$包含$y_1, \ldots, y_{h(i)}$并且对于每个多项式$P \in A[X_{h(i)+1}, \ldots, X_q]$关系$P(y_{h(i)+1}, \ldots, y_r) \in r_i$意味着$P$的所有系数属于至 $\mathfrak{p}$。

然后，理想的$r_i \cap B'$由$\mathfrak{p}$和$y_k$生成，使得$k \leq h(i)$。 （通过归纳对$m$进行论证，从而将其简化为情况$m = 1$。 然后令$c = r_1a$；通过归纳对$A$-代数$B$的生成元的数$n$进行争论。 令$(x_i)_{1 \leq i \leq n}$为生成元的系统，令$s$为$P$的$A[X_1, \ldots, X_n]$由……组成的理想，使得$P(x_1, \ldots, x_i) \in c$；然后$s \supseteq \mathfrak{p}A[X_1, \ldots, X_n]$；根据$s$是否等于$\mathfrak{p}A[X_1, \ldots, X_n]$来区分两种情况。 在第二种情况下，有一个多项式 $Q \in A[X_1, \ldots, X_n]$，其系数均不在 $\mathfrak{p}$ 中，并且在属于到 $B$ 中。 证明可以确定整数 $m_i$ ($2 \leq i \leq n$)，这样，如果我们写 $x'_i = Q(x_1, \ldots, x_n), x'_i = x_i - x_1^{m_i}$ ($2 \leq i \leq n$)，则存在元素 $b \in A - \mathfrak{p}$，其中 $bx_1$ 对 $C = A[x'_2, \ldots, x'_n]$ 是积分；将归纳假设应用于 $A$-代数

以及理想的$c \cap B_1$。