习题 10, § 8

令 w 为 2-adic 域 $\mathbf{Q}_2$ 的 2-adic 估值；在有理函数$\mathbf{Q}_2(X)$的域上，考虑离散估值$v$延伸$w$，使得

（§ 10, no. 1，引理1）；令 K 为 $\mathbf{Q}_2(X)$ 对该估值的完成，并令其估值也由 $v$ 表示。令L为$K[Y]$中多项式$(Y^2 - X)^2 - 2$的分裂域，令$v'$为L延伸$v$的唯一估值。表明 $[L : K] = 8, e(v'/v) = 4, f(v'/v) = 2$；如果k（分别$k'$）是$v$（分别$v'$）的剩余类域，则$k'$是次数2的k的根扩张；表明不存在L的子扩展E使得$[E : K] = 2$，其中$v'$到E的限制的剩余类域等于$k'$。 （必然是$E = K(\sqrt{\alpha})$，其中$\alpha \in K$在K中不会是平方，而是$\alpha \equiv X \pmod{2}$；借助L的合适基超过$K(\sqrt{2})$，并观察$K(\sqrt{2})$中不存在元素，其平方与 X mod 2 一致。）