习题 18, § 8

令 K 为 Henselian 域，估值为 v，v 的 k 剩余类域，并假设 k 的每个有限代数扩张都是 k 上的循环（对于例，k 是有限的情况）。令 A 为 v 的环和 f $\in A[X]$ 一个一元多项式，当且仅当 $(X) = (X - \alpha_1) \ldots (X - a_n)$，其中 K 的 $\alpha_i$ 属于至代数闭包，A 的元素 $D = \prod_{i < j} (\alpha_i - \alpha_j)^2$（“判别式”关闭）使得 $v(D) = 0$。令$\tilde{f}_j$ ($1 \leq j \leq s$) 为f 在$k[X]$ 中的典范像 $\tilde{f}$ 的不可约因子，令$r_j$ 为$\tilde{f}_j$ 的次数。证明 f 的分裂域的 K 上的伽罗瓦，被视为 a 的置换的群，是由置换 $\sigma$ 生成的，它分解为相应的长度 $r_1, r_2, \ldots, r_s$ 的循环（观察到给定的 k 只存在一个扩张） 次数，达到 k 同构）。推出，对于 A 中的 D 为平方，$n - s$ 为偶数是充分必要的（“Stickelberger 的定理”；检查条件 D 在 $\sigma$ 下是不变的）。