习题 18, § 2

令$A$为子环$A_i$的右有向族的环、并，它们是戴德金域。假设，对于$A_i$的每个素理想$p$，都存在$\beta \geq a$，使得至少有两个不同的$A$素理想，位于$p$之上。

(a) 证明所有代数整数的环（$C$中$\mathbf{Z}$的积分闭包）满足上述条件（cf.章V、$§ 2$、习题6）。

(b) 令$v$为$A$、$z \in A$的非不当估值，使得$v(z) > 0$，令$a$为$x$满足$v(x) \geq v(z)$的$A$由……组成的理想值。表明 $A : a = A$ 因而 $a$ 不可逆，尽管对于 $A$ 的每个最大理想 $m$，$aA_m$ 是评估中的主要理想环 $A_m$ (cf. 章 11， $§ 5$、no. 6、定理 4)。

(c) 从 (a) 和 (b) 推导出全积分闭非 Krull 域的 Priiferian 域的例 (cf. 习题 15 (c) 和 17 (b) 和章 V, $§ 1$, 习题 14）。