Bourbaki

习题 1, § 3

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代数, II, 395

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令AA为环，EE为右AA模块，FF为左AA模块。设 ff 为函数，定义在所有有限序列的集合 SS 上

((x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn))(n arbitrary) ((x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)) \quad (n \text{ arbitrary})

E×FE \times F 的元素以及集合 GG 中的值 ，这样：

(1)

f((x1,y1),…,(xn,yn))=f((xσ(1),yσ(1)),…,(xσ(n),yσ(n))) f((x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)) = f((x_{\sigma(1)}, y_{\sigma(1)}), \ldots, (x_{\sigma(n)}, y_{\sigma(n)}))
每置换 σ∈Sn\sigma \in \mathfrak{S}_n；

(2)

f((x1+x1′,y1),(x2,y2),…,(xn,yn))=f((x1,y1),(x1′,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)); f((x_1 + x'_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)) \\ = f((x_1, y_1), (x'_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n));

(3)

f((x1,y1+y1′),(x2,y2),…,(xn,yn))=f((x1,y1),(x1,y1′),(x2,y2),…,(xn,yn)); f((x_1, y_1 + y'_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)) \\ = f((x_1, y_1), (x_1, y'_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n));

(4)

f((x1λ,y1),…,(xn,yn))=f((x1,λy1),…,(xn,yn)) f((x_1 \lambda, y_1), \ldots, (x_n, y_n)) = f((x_1, \lambda y_1), \ldots, (x_n, y_n))
对于所有λ∈A\lambda \in A。

证明 E⊗AFE \otimes_A F 到 GG 中存在且仅有一个映射 gg 使得 f((x1,y1),…,(xn,yn))=g(∑i=1nxi⊗yi)f((x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)) = g \left( \sum_{i=1}^n x_i \otimes y_i \right)。 （注如果

∑ixi⊗yi=∑jxj′⊗yj′, \sum_i x_i \otimes y_i = \sum_j x'_j \otimes y'_j,

Z\mathbf{Z}-模块Z(E×F)\mathbf{Z}^{(E \times F)}中的∑i(xi,yi)−∑j(xj′,yj′)\sum_i (x_i, y_i) - \sum_j (x'_j, y'_j)之差为线性组合，整数系数为元素与形式(2)与no. 1。）

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

无。

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