习题 3, § 3

(a) 令 $(E_\lambda)_{\lambda \in L}$ 为右 $A$ 模块族和 $F$ 左 $A$ 模块。证明如果 $F$ 是有限生成的，则典范映射

是主观的。 (b) 给出交换环 $A$ 的例和$A$ 的理想$m$，使得典范映射 $A^N \otimes_A (A/m) \to (A/m)^N$ 不是单射（cf. § 1，习题 2 (b)）。 (c) 给出交换环 $A$ 的例，使得典范映射 $A^N \otimes_A A^N \to A^{N \times N}$ 不是满射的（观察对于给定的 $n$，$N$ 的像在形式的映射下） $m \mapsto \sum_{i=1}^r u_i(m)v_i(n)$，其中$u_i$和$v_i$属于到$A^N$，生成是$A$的有限生成理想）。 (d) 从 (b) 和 (c) 推导出例，其中典范同态 (22) (no. 7) 既不是单射也不是满射。