习题 6, § 9

(a) 令 E 为域 K 上维数 $\geqslant 2$ 的仿射空间。对于 E 的仿射映射 $u$ 到其自身到变换的每条线 E 成平行线，满足线性映射 $v$ 是充分必要的与$u$相关的是K的$\gamma \neq 0$属于与中心之比的位似$t \mapsto \gamma t$。如果$\gamma = 1$，则$u$是翻译；证明如果$\gamma \neq 1$，则存在且只有一个点$a \in E$使得$u(a) = a$。如果将$a$作为E的原点，则$u$将与位似一起识别为向量空间结构，从而在E上确定； $u$ 称为中心 $a$ 的仿射空间 E 和比率$\gamma$ 的中心位似。

(b) 令 $u_1, u_2$ 为 E 到 E 的两个仿射映射，其中每一个都是平移或中心位似。证明$u_1 \circ u_2$是E的翻译或中心位似；如果 $u_1, u_2$ 和 $u_1 \circ u_2$ 都是三个中心同调，则表明它们的中心位于一条直线上。当$u_1$和$u_2$是中心同位词并且$u_1 \circ u_2$是翻译时，可以说什么呢？

(c) 证明平移和中心同位的集合是 E 的仿射群的正规子群 H，并且 H/T 同构于 K 的中心的乘法群：证明只有当 H = T 时，H 才能交换，在其他字中，如果K 的中心只有两个元素。