Bourbaki

习题 8, § 9

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代数, II, 412

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 E 为域 K 上的左仿射空间，T 为其平移空间。

(a) 为了使 E 的映射 f 到 K 上的左向量空间 L 是仿射的，有必要且充分：

f(t+x)−f(x)=f(t+y)−f(y) f(t + x) - f(x) = f(t + y) - f(y)
f(λt+x)−f(x)=λf(t+x)−f(x)) f(\lambda t + x) - f(x) = \lambda f(t + x) - f(x))

对于E中的所有λ∈K,t∈T,x,y\lambda \in K, t \in T, x, y。设x↦[x]x \mapsto [x]为E的典范嵌入，转换为E的元素的形式线性组合的向量空间Ks(E)K_s^{(E)}，并令N为由元素生成的Ks(E)K_s^{(E)}的子空间

[t+x]−[x]−[t+y]+[y] [t + x] - [x] - [t + y] + [y]
[λt+x]−[x]−λ[t+x]+λ[x] [\lambda t + x] - [x] - \lambda[t + x] + \lambda[x]

对于EE中的λ∈K,t∈T,x,y\lambda \in K, t \in T, x, y；最后，令VV为Ks(E)K_s^{(E)}的空间除以NN和EE的ϕ\phi映射到VV的商，与[x][x]模的每个x∈Ex \in E类相关联NN。那么 ϕ\phi 是一个仿射映射，对于 EE 到左向量空间 LL 的每一个仿射映射 ff 在 KK 上，存在且仅有一个线性映射 gg VV 变为 LL 使得 f=g∘ϕf = g \circ \phi。

(b) 设ϕ0:T→V\phi_0 : T \to V为线性映射，并与ϕ\phi相关联，因此ϕ(t+x)−ϕ(x)=ϕ0(t)\phi(t + x) - \phi(x) = \phi_0(t)。证明ϕ\phi（因此ϕ0\phi_0）是单射的（对于某些a∈Ea \in E，考虑EE的映射x↦x−ax \mapsto x - a进入TT）；对于每个家庭KK元素(λi)i∈I(\lambda_i)_{i \in I}和有限支撑以及每个家庭EE元素(xi)i∈I(x_i)_{i \in I}，

∑iλiϕ(xi)=ϕ0(∑iλixi)if ∑iλi=0 \sum_i \lambda_i \phi(x_i) = \phi_0 \left( \sum_i \lambda_i x_i \right) \quad \text{if } \sum_i \lambda_i = 0
∑iλiϕ(xi)=μϕ0(∑iμ−1λixi)if ∑iλi=μ≠0. \sum_i \lambda_i \phi(x_i) = \mu \phi_0 \left( \sum_i \mu^{-1} \lambda_i x_i \right) \quad \text{if } \sum_i \lambda_i = \mu \neq 0.

推导出VV和ϕ(E)\phi(E)超平面平行于ϕ0(T)\phi_0(T)通过0ϕ0(T)\phi_0(T)是超平面经过。

解答

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