习题 11, § 2

设 A 为交换环，S 为具有单位元素 $e$ 的可交换幺半群。假设在 A 上给出外法则 $(s, x) \mapsto x^s$，其中 S 作为算子域，这样，对于所有 $s \in S$，映射 $x \mapsto x^s$ 对于所有 $x \in A$ 和 $s$ 是环 A 和 $(x^s)^t = x^{st}$ 的自同构，并且S 中的$t$（这意味着$e$ 是所考虑的外法则的恒等运算符）。然后在A-模$A^{(S)}$上定义合成的乘法内部律，其典范基表示为$(b_s)$，关系

其中 $a_{s,t}$ 属于到 A。

显示$A^{(S)}$ 定义环结构上的律和加法集合，前提是$a_{s,t}$ 满足条件

对于S中的所有$s, t, u$。元素$b_e$是这个环的单位元如果也

对于所有$s \in S$；在这种情况下，A可以用$A^{(S)}$的子环来识别，并且如果C表示元素的由……组成的子环在所有自同构$x \mapsto x^s$下不变，$A^{(S)}$是一个C-代数，称为环 A 与幺半群 S 的交叉乘积，相对于因子系统 $(a_{s,t})$。如果将因子系统$(a_{s,t})$替换为$\left( \frac{c_s c_t^s}{c_{st}} a_{s,t} \right)$，其中，对于所有$s \in S$，$c_s$是A和$c_e = 1$的可逆元，则得到的新的交叉乘积与交叉后的乘积同构乘积由因子系统 $(a_{s,t})$ 定义。

特别是，如果 A 被取为环 C 上的二次代数，且 S 为阶 2 的循环群，例如 $\{e, s\}$，使得 $x^s = \bar{x}$ 对于 $x \in A$，则表明 A 和 S 的每个交叉乘积是四元数代数超过C。