习题 26, § 2

(a) 设 A 和 B 是 $\mathbf{R}$ 的两个*有序* 子集（它们必然是可数的；cf. 一般拓扑、IV, § 2、习题 1）。证明$A + B$是良序的，并且对于所有$c \in A + B$，仅存在有序对$(a, b)$的有限数，使得$a \in A, b \in B$和$a + b = c$（以证明$A + B$的非空子集有至少元素，考虑$\mathbf{R}$中的下确界）。

(b) 设 K 为交换域。 在向量空间$K^\mathbf{R}$中，考虑元素$(\alpha_x)$的向量子空间E由……组成，使得集合（取决于$x \in \mathbf{R}$的$(\alpha_x)$，使得$\alpha_x \neq 0$*有序*。 对于E的任意两个元素$(\alpha_x)$、$(\beta_x)$，我们写成$(\alpha_x)(\beta_x) = (\gamma_x)$，其中$\gamma_x = \sum_{y+z=x} \alpha_y \beta_z$（和由于(a)而有意义）。 证明合成定义的这个律，与加法，E上的一个*域*结构； E 的元素也用 $\sum_{t \in \mathbf{R}} \alpha_t X^t$ 表示，并称为*形式幂级数，具有良序实指数*，系数为 K。*