习题 3, § 2

(a) 设 K 为交换域。证明，对于 K 大于 K 的型 $(\alpha, \beta, \gamma)$ 四元数代数中心，下列情况之一成立是充分必要的： (1) $\beta \gamma \neq 0$； (2)$\gamma = 0, \beta \neq 0$和$\beta^2 + 4\alpha \neq 0$； (3) K 中的$\beta = 0, \alpha \neq 0$ 或$\gamma \neq 0$ 和$2 \neq 0$。

(b) 设 K 为交换域，使得 K 中有 $2 \neq 0$；表明型$(1, \gamma)$的K上的四元数代数同构于矩阵代数$M_2(K)$（考虑元素$\frac{1}{2}(1+i)$、$\frac{1}{2}(1-i)$的代数由……组成的基， $(j+k/2\gamma)$、$\frac{1}{2}(j-k)$）。

(c) 令 K 为交换域，使得 K 中的 $2 \neq 0$，并令 E 在型$(\alpha, \gamma)$ 的 K 上为四元数代数。如果 $\overline{z} = -z$ （或者也$T(z) = 0$），四元数 $z \in E$ 被称为*纯*。证明如果 $z$ 是纯的，则每个四元数 $tzt^{-1}$ 也是纯的，其中 $t \in E$ 是可逆的。

(d) 如果$u, v$是任意两个四元数，则$uv - vu$是纯的。推论如果 $u, v, w$ 是任意三个四元数，则

(e) 证明如果$E$中存在一个四元数$z \neq 0$使得$N(z) = 0$，则也存在一个使得$N(z') = 0$的纯四元数$z' \neq 0$。 (注，在公式(33)(no. 5)的记号中，如果$\alpha$在$K$中不是平方，$z \neq 0$在$E$中存在，使得$N(z) = 0$等价于存在元素 $y \in K + Ki$ 使得 $\gamma = N(y)$。）