习题 5, § 2

在交换域$K$上，其中$2 = 0$，型$(\alpha, 0, \gamma)$的每四元数代数$E$是可交换的，并且每$x \in E$属于到$K$的平方是可交换的；因此，元素$x \in K$生成的$E$的子代数$K(x)$是$K$上的型$(\lambda, 0)$的二次代数，并且$E$是$K(x)$上的二次代数。

证明平方等于$K$的元素平方的$x \in E$的集合$C$是维数等于1的$E$的向量子空间， 2 或 4。如果 $C$ 为维数 1（在这种情况下为 $C = K$），则 $E$ 为域。如果$C$是维数2，则$E$中存在二次代数$K(x)$，即域，$E$有基超过$K(x)$由……组成的两个元素 1 和 $u$ 与 $u^2 = 0$； $y \in E$的集合，使得$y^2 = 0$是$K$上维数2的理想$a$，并且$E/a$与$K(x)$同构的。最后，如果 $C$ 为维数 4（因此等于 $E$），则集合 $a$ 为 $y \in E$，使得 $y^2 = 0$ 是维数 3 的理想，且 $E/a$ 同构于$K$； $E$ 基 $(1, e_1, e_2, e_3)$ 中存在$e_1^2 = e_2^2 = e_3^2 = 0$、$e_1 e_2 = e_3$、$e_1 e_3 = e_2 e_3 = 0$； $Ke_3 = b$是$E$中维数1的唯一理想，$b$是$a$的湮没子，$a/b$是$E/b$和维数1的两个理想中的直和，其中消灭一个另一个。