习题 6, § 2

令$K$为交换域，其中$2 \neq 0$和$E$四元数代数超过型$(0, 0, \gamma)$的$K$。 (a) 如果$K$中的$\gamma$不是平方，则在$K$上维数 1的$E$中不存在左（或右）理想； $x \in E$的集合$a$，使得$x^2 = 0$是维数2超过$K$的双面理想，$E/a$是域、二次代数超过$K$。 (b) 若$K$中$\gamma$为平方$\neq 0$，则在$E$基$(e_i)_{1 \leq i \leq 4}$中存在乘法表：

<table> <tr> <th></th> <th>e_1</th> <th>e_2</th> <th>e_3</th> <th>e_4</th> </tr> <tr> <th>e_1</th> <td>e_1</td> <td>0</td> <td>e_3</td> <td>0</td> </tr> <tr> <th>e_2</th> <td>0</td> <td>e_2</td> <td>0</td> <td>e_4</td> </tr> <tr> <th>e_3</th> <td>0</td> <td>e_3</td> <td>0</td> <td>0</td> </tr> <tr> <th>e_4</th> <td>e_4</td> <td>0</td> <td>0</td> <td>0</td> </tr> </table>

$x \in E$的集合$a$，使得$x^2 = 0$是维数2的双边理想，直和是两个双边理想$Ke_3$和$Ke_4$的一个，它湮灭了一个另一个；后者是$E$中维数1的唯一（左或右）理想。商代数$E/a$同构于两个域同构于$K$的乘积。

(c) 如果$\gamma = 0$、集合$a$等于$x \in E$，使得$x^2 = 0$是维数3的双面理想； $Kk = b$是$E$中维数1的唯一（左或右）理想；它是一个双面理想，即$a$的左侧和右湮灭子。在代数$E/b$的商中，$a/b$是维数1的两个双面理想湮灭一个另一个的直和；最后$E/a$是域同构于$K$。