习题 9, § 2

(a) 证明阶 8 (I, § 6, 习题 4) 的 二面角群 $D_4$ 的代数 $E$ 在域 $K$ 上，其中 $2 \neq 0$ 同构于四个域中的乘积同构于$K$和阶2个矩阵中的代数超过$K$。 （如果$a, b$是I, § 6、习题4中引入的$D_4$的两个生成元，$D_4$的元素可以写成$a^i b^j$和$0 \leq i \leq 3, 0 \leq j \leq 1$；考虑$E$的基四个元素 $\frac{1}{2}(e + a^2), \frac{1}{2}(e - a^2), \frac{1}{2}(a + a^3), \frac{1}{2}(a - a^3)$中的由……组成和这四个元素在右边乘以$b$；使用习题 4.) 推出，如果$K$中$-1$是平方，则代数 非同构 群 $Q$ 和 $D_4$ 中超过 $K$ 是*同构的*。

(b) 类似地证明阶 6 的二面角群 $D_3$ 在域 $K$ 上的代数 $F$，其中$2 \neq 0$ 和$3 \neq 0$ 同构于两个乘积域同构于阶 2 的 $K$ 和矩阵代数在 $K$ 上（这里考虑元素 $e + a + a^2, a + a^2 - 2e, a - a^2$ 的 F 由……组成的基以及这三个元素在右边乘以$b$）。