Bourbaki

习题 22, § 8

标签 065N，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 065N]。

代数, III, 643

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 F 为 Mn(K)M_n(K) 的映射到集合 E，其中 K 为交换域，这样，对于 Mn(K)M_n(K) 中矩阵 X,Y,ZX, Y, Z 的每个三元组，

F(XYZ)=F(XZY). F(XYZ) = F(XZY).

我们排除M2(F2)M_2(F_2)情况；那么证明 E 中存在 K 的映射 Φ\Phi 使得 F(X)=Φ(det⁡(X))F(X) = \Phi(\det(X))。 （使用命题 17 (no. 9) 的推论，首先证明，对于 U∈SLn(K)U \in SL_n(K)，F(X)=F(XU)F(X) = F(XU)；推导出，在 GLn(K)GL_n(K) 中，F(X)F(X) 仅取决于 det⁡(X)\det(X)。另一方面，如果对于 r≤n−1r \leq n - 1，我们写

Xr=(Ir000) X_r = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

证明秩rr存在矩阵YY，使得Xr−1=YXrX_{r-1} = YX_r和Y=XrYY = X_rY，并推断F(X)F(X)对于秩的所有矩阵具有相同的值 <n< n。）

解答

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