习题 13, § 5

（级数的分幂。）记号如习题10和11。设E和F是E上的两个K-模和一个级数，其中值在F中。用齐次多项式律表示将 $\Gamma(E)$ 的次数 1 放入由 a 定义的 F 中。对于任何整数 p，$m \in \mathbf{N}$，我们用与多项式律 $\gamma_p \circ a \circ (\gamma_0 + \gamma_1 + ... + \gamma_r)$ (cf. 习题 10) 伴随的 $\sigma_m^{(p)}$ 级数表示。 a) 证明当 m 趋于 $\infty$ 时，序列 $\sigma_m^{(p)}$ 收敛于 $S(E, \Gamma_p(F))$ 到级数 $\sigma^{(p)}$。这个级数$\sigma^{(p)}$称为级数a的除第p次幂。

b) 证明如果$(x_i)_i$是E和$\eta \in \mathbf{N}^{(1)}$的元素族，那么

其中$\mathscr{L}$是所有映射中的集合，其中$\mathbf{N}^{(1)}$的有限支撑进入$\mathbf{N}$满足条件$\sum \xi(a) = p$和$\sum \xi(a) a = \eta$（应用例10，a））。

c) 证明如果 $a, \tau \in S(E, F)$，那么对于每个 $p \in \mathbf{N}$ 我们有

（乘积按代数$S(E, \Gamma(E))$、cf.习题12计算）。

d) 证明对于每个整数$p \in \mathbf{N}$，我们都有$\sigma^p = p! \, \sigma^{(p)}$，其中$\sigma^p$是a在代数$S(E, \Gamma(F))$中的第p个幂。

e) 令$A_+$和$A_-$分别为$\Gamma(E)$和$\Gamma(F)$中的余积。证明对于所有 $p \in \mathbf{N}$ 我们有