习题 9, § 5

（多项式律）用E和F表示交换环k上的两个模。通过 F 中 E 的多项式律，我们可以理解，对于每个（结合交换和单位）K-代数 L、$L \otimes_k E$ 的映射 $\varphi_L$ 到 $L \otimes_k F$ 满足条件： 如果 L 和 R 是两个 K-代数并且 f 是 L 的酉同态到 R 中，则

a) 设 Q 为 E 到 F 的多项式律，令 $L = k[(T_i)_{i \in I}]$ 为 k 上不定式$T_i$族中的多项式代数，令$(x_i)_{i \in I}$为 E 的元素有限支撑族。证明存在唯一族有限支撑 F 的元素的 $(y_\xi)_{\xi \in \mathbf{N}^{(I)}}$ 使得 证明如果 R 大于 k 代数，则对于 R 的元素的每个族 $(a_i)_{i \in I}$，我们有

b) 如果对于 k 上的每个代数 L 以及每个 $u \in L \otimes E$，族 $\varphi^j_L(u)$ 有有限支撑，则 E 到 F 的多项式律的族 $(\varphi^j)_{j \in J}$ 称为可求和。证明如果 $(\varphi^j)_{j \in J}$ 是 E 到 F 的多项式律的可求和族，则存在 E 到 F 的唯一多项式律 Q，这样对于每个 K-代数 L 和每个 $u \in L \otimes E$ 我们都有 $\sum_i \varphi^i_L(u) = \varphi_L(u)$。该多项式律称为律$\varphi^j$的和，记为$\sum_j \varphi^j$。

c) 设E、F、G为三个K-模，$\varphi$E到F的多项式律和$\psi$F到G的多项式律。证明存在唯一的E到G的多项式律$\eta$，使得对于每个K-代数L我们有$\eta_L = \psi_L \circ \varphi_L$。这个律$\eta$称为Q和$\psi$的合成，记为$\psi \circ Q$。

d) 令 p 为整数 $\geq 0$。如果对于 k 上的每个代数 L，对于任何 $a \in L$ 和 $u \in L \otimes E$，我们都有 $\varphi_L(au) = a^p \varphi_L(u)$，则 E 到 F 的多项式律 Q 被称为齐次次数 $p$。证明如果 Q 是次数 p 的齐次，那么在公式 (1) 中我们有 $y_\xi = 0$ 对于 $|\xi| = \sum_i \xi(i) \neq p$。 确定次数 0 和 1 的所有齐次多项式律。

e) 使用与 c) 中相同的记号，证明如果 Q 和 $\psi$ 分别是次数 p 和 q 的齐次律，则 $\psi \circ Q$ 是次数 $pq$ 的齐次律。

f) 令 p 为整数 $\geq 0$。对于每个交换K-代数L，我们用L的$\varepsilon_L$单射$a \mapsto aT$表示为多项式代数$L[T]$，并用$\beta_L^p$同态表示将L-模块$L[T]$转换为L，与每个元素$\sum_k a_k T^k \in L[T]$系数$a_p$相关联。设 Q 是 E 到 F 的多项式律。证明映射 $\varphi_L^p = (\beta_L^p \otimes \mathrm{Id}_L) \circ \varphi_{L[T]} \circ (\varepsilon_L \otimes \mathrm{Id}_L)$ 形式 E 到 F 的多项式律是次数 p 的齐次。该多项式律称为律 Q 的次数 $p$ 的齐次分量。证明 Q 形式的齐次分量与和 $\varphi$ 是可求和族。