习题 10, § 11

a) 设 K 为域，其代数闭包为 K 的素数次数 q 的扩张。这样 K 是完美的，并且 q 必须与 K 的特征不同（使用例 9）。

b) 证明 K 包含单位元的第 q 个根，且 $\Omega$ 是 $K[X]$ 的不可约多项式 $X^q - a$ 的分裂域；推导出 $q = 2$ （在相反的情况下，从例 5 推导出多项式 $X^{q^2} - a$ 是不可约的）。进一步证明$K$中$-a$是平方（*loc.cit.*），$-1$在$K$中不是平方，并推断出$\Omega = K(i)$，其中$i^2 = -1$。