习题 23, § 11

设$n$和$p$是奇数且不同的素数数。 a) 令 $Q \in \mathbf{F}_p[X]$ 为分圆多项式 $\Phi_n$ 的像。证明$Q$的不可约因子的数$i$是偶数当且仅当$p$是平方 mod $n$。 （令$K$为$Q$的分裂域。证明$\mathrm{Gal}(K/\mathbf{F}_p)$可以与$p$的像生成的$(\mathbf{F}_n)^*$的子群等同。研究指标$((\mathbf{F}_n)^*: \mathrm{Gal}(K/\mathbf{F}_p))$的奇偶性。） b) 证明$X^n - 1 \in \mathbf{F}_p[X]$的判别式是

c) 证明$i$ 是偶数当且仅当$(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} n$ 是平方 modp（将En.22 应用于多项式$X^n - 1$）。 d) 如果$n$是平方 modp，则放入$\left( \frac{n}{p} \right) = 1$，否则放入$\left( \phantom{\frac{n}{p}} \right) = -1$。从 c) 中推出