习题 4, § 11

令 K 为特征 p 的域，q 为素数数 $\neq p$，使得 K 包含为单位元的第 q 个根，并令 $\zeta$ 为单位元的第 q 个本原根。 a) 设 E 是次数 $q^e$ 的 K 的循环扩张和 $\sigma$ E 生成的 $\mathrm{Gal}(E/K)$ 的 K 自同构。 设 F 为 K 上次数 $q^{e-1}$ 的域，使得 $K \subset F \subset E$； $F[X]$中存在不可约多项式$X^q - a$的$0 \in E$、根，使得$E = F(0)$和$\theta^{\sigma^m} = \zeta \theta$（其中$m = q^{e-1}$）。 还显示 $E = K(0)$ 和 $0'' = \beta \theta$，其中 $\beta \in F$ 满足 $\alpha^{\sigma^{-1}} = \beta^q$ 和 $N_{F/K}(\beta) = \zeta$（通过例 1 观察 $0'' = \beta \theta^k$ 与 $0 < k < q$ 和 $\beta \in F$；通过计算 $\theta^{\sigma^{mq}}$，显示 $k^{mq} - 1 \equiv 0 \pmod{q}$ 并推导出$k = 1$）。 b) 相反，令 F 为 K 的次数 $q^{e-1}$ 与 $e \geq 2$ 的循环扩张，并令 $a$ 为 F 生成的 $\mathrm{Gal}(F/K)$ 的 K 自同构。 如果存在元素 $\beta \in F$ 使得 $N_{F/K}(\beta) = \zeta$ 并且如果 $\alpha \in F$ 使得 $\alpha^{\sigma^{-1}} = \beta^q$，则证明对于每个 $c \in K^*$，多项式 $X^q - c \alpha$ 在 $F[X]$ 中是不可约的。 如果 8 是 F 的代数闭包 $\Omega$ 中该多项式的根之一，则表明存在 $E = F(0)$ 到 $\Omega$ 的 K-同态 $\overline{\sigma}$，扩展 a 并使得 $8'' = \beta \theta$；推论E是K的次数$q^e$的循环扩张，$\overline{\sigma}$生成$\mathrm{Gal}(E/K)$和$E = K(0)$。 Finally show that every cyclic extension of degree $q^e$ of K, containing F, is the root field of a polynomial $X^q - c \alpha$ in $F[X]$, for an appropriate $c \in K^*$ (use Th. 3 of V, p. 85). c) Take K to be the field Q of rational numbers. 多项式$X^2 + 1$在$Q[X]$中不可约；如果i是其根之一，则$F = Q(i)$是次数2的Q的循环扩张，但不存在Q包含F的次数4的循环扩张。