习题 6, § 11

令 K 为特征 p 的域，n 整数而不是 p 的倍数，N 分裂域为 $K[X]$ 的多项式 $X^n - a$。

a) 证明群 Gal(N/K) 同构于群 $\Gamma$ 矩阵 $\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 的子群，其中$x \in (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^*$ 和$y \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$。 如果$n$是素数数，则仅当$R_n(K) = K$或$a$是K的元素的第n个幂时，群 Gal(N/K) 才是可交换的。 b) 如果$K = \mathbf{Q}$且$n$是素数数，证明如果$a$不是有理数数的第n个幂，则Gal(N/K)同构于整个$\Gamma$。 c) 如果$K = \mathbf{Q}$，确定 Gal(N/K)，当$a$是无平方整数时。