习题 7, § 11

域 K 的扩张 E 被称为 Kummer 扩张，如果存在整数 $n > 0$，使得 K 包含是单位元的原语 n 个根，并且 E 是阿贝尔的扩张且伽罗瓦群被 n 消灭。 a) 令 K 为域和 N 伽罗瓦扩张，其中次数 m 的 K 具有伽罗瓦群 $\Gamma$。为了使 N 成为 K 的 Kummer 扩张，N 超过 K 的基 $(\theta_\sigma)_{\sigma \in \Gamma}$ 是必要且充分的，使得对于每个对 $(\sigma, \tau)$，元素 $\gamma_{\sigma \tau} = \theta_\sigma^{1-\tau}$ 属于到 K。 （对于 N 是素数幂次数的循环的情况，条件约化的必要性。对于充分性，观察如果 $\tau \in \Gamma$ 是阶 $n$，则存在 $\sigma \in \Gamma$ 使得 $\gamma_{\sigma \tau}$ 是一个本原 n 次根共单位元。） b) 如果 $(\theta_\sigma)_{\sigma \in \Gamma}$ 是基满足条件 a)，证明对于 N 的元素 $x = \sum \sigma a_\sigma \theta_\sigma$ 使得 x 形式的共轭是 N 除以 K 的正常基，有必要且充分$a_\sigma \neq 0$ 对于所有$\sigma \in \Gamma$。