习题 9, § 11

令 K 为特征 $p > 0$ 的域。 a) 设 E 为 K 的次数 $p^e$ 的循环扩张，并令 $\sigma$ 为 K 自同构生成的群 Gal(E/K)。设 F 为 K 上次数 $p^{e-1}$ 的域，使得 $K \subset F \subset E$；如果 $m = p^{e-1}$，则表明存在 F[X] 的不可约多项式 $X^p - X - \alpha$ 的$0 \in E$、根，使得 $E = F(\theta)$ 和 $\sigma^m(\theta) = 0 + 1$。证明我们还有 $E = K(\theta)$ 和 $\sigma(\theta) = 0 + \beta$，其中 $\beta \in F$ 满足 $\sigma(\alpha) - \alpha = \beta^p - \beta$ 和 $\operatorname{Tr}_{F/K}(\beta) = 1$。 b) 相反，令 F 为 K 的次数 $p^{e-1}$ 的循环扩张（带有 $e > 1$），$\sigma$ 为 F 生成的 Gal(F/K) 的 K 自同构。证明 F 存在两个元素 $a, \beta$，使得 $\operatorname{Tr}_{F/K}(\beta) = 1$ 和$\sigma(\alpha) - a = \beta^p - \beta$（使用 V、p. 85 的第 3 条和V、p. 49 的第 1 条命题的 Cor.）。推论对于所有$c \in K$，多项式$X^p - X - a - c$在F[X]中是不可约的；如果 0 是该多项式在 F 的代数闭包 $\Omega$ 中的根，则表明在 $\Omega$ 中存在$E = F(\theta)$ 的 K 同态$a$，延伸$\sigma$ 且使得 $\bar{\sigma}(\theta) = 0 + \beta$； 结论 E 是 K 的次数 $p^e$ 的循环扩张，生成 Gal(E/K) 以及 $E = K(0)$。最后证明，对于合适的 $c \in K$，K 包含 F 的次数 $p^e$ 的每个循环扩张都是 F[X] 的多项式 $X^p - X - \alpha - c$ 的分裂域。