习题 10, § 12

令 t、$n$、k 为三个整数 $\geq 1$，使得 $t \leq n$ 和 $n$ 除 $2^k - 1$。令 S 为整数的最小的集合，使得 $(1, t) \subset S \subset (1, n)$ 和条件 « i $\in S$、$2i \equiv j \pmod{n}$ 和 $1 \leq j \leq n$ » 蕴含 $j \in S$。输入$m = \mathrm{Card}\ S$。令$\xi$为$\mathbf{F}_{2^k}^*$中阶$n$的元素，并放入$P(X) = \prod_{j \in S} (X - \xi^j)$。 a) 证明$P(X) \in \mathbf{F}_2[X]$。 b) 证明如果$R(X) \in \mathbf{F}_2[X]$是次数$< n$并且是$P(X)$的非零倍数，那么严格有超过t个非零系数。 c) 推导出映射$Q : \mathbf{F}_2^n \to \mathbf{F}_2^m$的构造，使得如果$u, v \in \mathbf{F}_2^n$是不同的并且至多有t个不同的坐标，则$Q(u) \equiv Q(v)$。 d) 当 $t = 6,\ n = 15,\ k = 4$ 时，计算 S、$m$ 和 P。