习题 15, § 14

a) 令 K 为 K 的域和 L 子域，使得 K 是有限生成的 L 代数，在 K 中的元素的其他字 $K = L[a_1, a_2, \ldots, a_n]$ 中。证明 $a_i$ 是L 上的代数。 （通过矛盾论证：如果 $a_1, \ldots, a_m$ ($m \geq 1$) 形式 $(a_j)_{1 \leq j \leq n}$ 的最大代数自由子族，观察到在所有非零理想的环 $A = L[a_1, \ldots, a_n]$ 交中减少到零，并使用下面的例 5 V、p. 147。） b) 从 a) 中推导出，在多项式代数 $K[X_1, \ldots, X_n]$ 中，每个最大理想都是 K 上的有限余维。 结论如果 A 是 K 上的交换有限生成代数，则包含 K 的每个子域都是 K 上的有限次数。