习题 16, § 14

a) 设 K 为 K 的代数闭域、$\Omega$ 代数闭扩张，E 为 $\Omega$ 的子扩展，且 $\Omega$ 的 x 元素在 E 上超越。 令 $\overline{K(x)}$ 为 $\Omega$ 中 $K(x)$ 的相对代数闭包并令$M = E(\overline{K(x)})$；证明 M 是 $E(x)$ 的无限次数的代数扩张。 （观察到对于每个整数$m > 1$，多项式$X^m - x$在$E(x)[X]$（V，p. 91，注）中不可约。 b) 令E为代数闭域，F为E的有限生成的扩张。证明F的每个代数闭子域必然包含在E中。（否则将存在代数闭的子域$L \subset F$和超越E的元素$x \in L$。应用 a)，取 E 的素数子域在 E 中的相对代数闭包为 K，注意 M 应该在 E 上有限生成。）