习题 2, § 14

令 K 为有理数的域 $\mathbf{Q}$ 上的一个不定式中有理分式的域 $\mathbf{Q}(X)$。证明在环 $K[Y]$ 中，多项式 $Y^2 + X^2 + 1$ 是不可约的，并且如果 E 是由该多项式的根生成的 K 的扩张（在代数闭包中）

K)，那么 Q 在 E 中是相对代数封闭的，但 E 不是 Q 的纯扩张。（要知道 E 中不存在元素一个关于 Q 注的 $\notin$ Q 代数，这样元素的存在意味着关系 $E = \mathbf{Q}(a)(X)$，并观察到$- (X^2 + 1)$不是$\Omega(X)$中的平方，其中$\Omega$是Q的代数闭包。）证明如果i是$X^2 + 1$的根，则$E(i)$是$\mathbf{Q}(i)$的纯超越扩张。