习题 3, § 14

令 K 为有理分式的域 $\mathbf{C}(X)$，在复数的（代数封闭）域 C 上不定。证明在环 $K[Y]$ 中，多项式 $Y^3 + X^3 + 1$ 是不可约的；令 E 为由该多项式的根生成的 K 的扩张（在 K 的代数闭包中）。证明 E 不是 C 的纯扩张，甚至虽然 C 也是代数封闭的。 （证明 $\mathbf{C}[X]$ 的三个多项式 u、v、w 之间不可能存在关系 $u^3 + v^3 + w^3 = 0$，两两互质且不是全部三个常数。通过矛盾论证：如果 r 是 u、v、w 的次数的最大的，且对于例 $\deg(w) = r$，可推导出关系

其中j是单位元的原始立方根，$\mathbf{C}[X]$中存在三个多项式$u_1, v_1, w_1$，成对互质，不是所有三个常数，次数<r并且使得$u_1^3 + v_1^3 + w_1^3 = 0.$\*