习题 4, § 14

设$\Omega$是域K的代数闭扩张，对K无限超越次数。 a) 证明$\Omega$存在无穷多个K-自同态，其中$\Omega$的像子域与$\Omega$不同，并且$\Omega$可能具有超越次数等于至多tr的任何基数。 $\deg_K \Omega$。 \* 特别是，复数的域C到C的子域与C不同，存在无穷多个不同的$\mathbf{Q}$同构。 \* b) 证明对于 $\Omega$ 的每个子扩展 E 使得 tr 。 $\deg_K E <$tr。 $\deg_K \Omega$，E 到 $\Omega$ 子域的每个 K-同构都可以扩展到 $\Omega$ 的 K-自同构。给出例其中 tr , $\deg_K E =$ tr 。 $\deg_K \Omega$ 并且存在 E 到 $\Omega$ 的子域的 K 同构，其中不能可以扩展到 E 的任何扩张 F 的 K 同构，包含在 $\Omega$ 中并且与 E 不同，到 $\Omega$ 的子域。