习题 8, § 14

令 E 为域 K 的扩张。 a) 令 x 为 $E - K$ 的元素。证明存在 K 的纯扩张 $L \subset E$，使得 E 在 L 和 $x \notin L$ 上是代数（考虑 E 的子外延 L 的集合，它是 K 上的纯超越且$x \notin L$）。 b) 令 $x \in E$ 为 K 和 p 整数 $\geq 2$ 的超越元素。证明存在 K 的纯超越扩张 $L \subset E$，使得 E 在 L、$x \notin L$ 和 $x^p \in L$ 上是代数（相同方法）。 c) 设 F 为 E 的子扩展，并设 $x \in E$ 为 F 上的代数元素及其最小多项式 $P \in F[X]$。证明存在 K 的纯扩张 $L \subset E$，使得 E 在 L 上是代数，P 在域 $F(L)$ 上不可约。