习题 11, § 15

令 K 为特征 $p > 0$ 的域。对于每个交换K-代数 A，提升到第 p 个幂会使环 A 变成 A-代数，因此也有 K-代数，由 $A^p$^1 表示。设A为交换K-代数。证明以下条件是等价的： (i) A 是可分离的 K-代数。 (ii) 唯一的 K-同态 $\Phi : A \otimes_K K^{p^{-1}} \to A^{p^{-1}}$ 使得 $\Phi(a \otimes A) = a^p \cdot \lambda$ ($a \in A, \lambda \in K$) 是单射的。 (iii) 对于 K 的每个族 $(b_i)_{i \in I}$ 在 $K^p$ 上线性自由，以及 A 等式 $\sum a_i^p b_i = 0$ 的每个族 $(a_i)_{i \in I}$ 意味着$a_i = 0$ 对于所有 i。

（可以验证（ii）$\Leftrightarrow$（iii）和（ii）是V，p. 123，Th.2，e）中的推论。）