习题 2, § 4

令K为特征0的代数闭域。$X^{1/n!}$中形式幂级数的$F = K((X^{1/n!}))$域和$E = K((X))$，其中形式幂的F由……组成的$X = (X^{1/n!})^{n!}$、子域 X 中的级数。 对于每个正式的幂级数$f \in K((X))$，我们用$\omega(f)$表示它的阶。 a) 令 $P(Y) = a_n Y^n + a_{n-1} Y^{n-1} + \ldots + a_1$ 为 $E[Y]$ 与次数 n 的多项式，使得 $a_n \neq 0$。 证明在区间 $[0, n]$ 中存在整数的严格递增的序列 $(i_k)_0, \ldots, r$，使得： 1" $i_0 = 0, i_r = n$；2" $\omega(a_{i_k})$ 对于 $0 \leq k \leq r$ 是有限的； 3" 对于每个指标 j，使得 $0 \leq j \leq n$ 与 $i_k$ 不同，并且 $\omega(a_j)$ 是有限的，点 $(j, \omega(a_j)) \in \mathbf{R}^2$ 位于直线经过通过点 $(i_k, \omega(a_{i_k}))$、$(i_{k-1}, \omega(a_{i_{k-1}}))$ 的上方，并且严格位于其上方，如果$j < i_{k-1}$ 或 $j > i_k$ ($1 \leq k \leq r$)。 段的并连接点、$(i_{k-1}, \omega(a_{i_{k-1}}))$和$(i_k, \omega(a_{i_k}))$的$1 \leq k \leq r$称为P的牛顿多边形，前面的段称为其边，点$(i_k, \omega(a_{i_k}))$称为其顶点。 b）放入$\rho_k = i_k - i_{k-1}$，$\sigma_k = (\omega(a_{i_k}) - \omega(a_{i_{k-1}}))/\rho_k$；证明 P 恰好有 $\rho_k$ 零（与右重数一起计算）属于到域 $K((X^{1/(\rho_k!)})$，并且其阶等于 $\sigma_k$（确定通过递归形式的幂的系数这个型满足方程$P(z) = 0$的级数）。 c) 结论对于所有整数 $n > 0$，域 $K((X^{1/n}))$ 中的并是域 $E = K((X))$ 中的代数闭包（“Puiseux 的定理”）。 d) 如果$K'$是特征2的域且$E' = K'((X))$，则$E'[Y]$的多项式$Y^2 + XY + X$在域$K'((X^{1/n!}))$的并中不存在根。