习题 1, § 7

a) 令$K$为特征$p > 0$的域。 有限次数 $K$ 的代数扩张 $F$ 被认为是异常的，如果它在 $K$ 上不可分，并且如果它包含没有元素 x \notin K，它是 K 上的 p 根式，在其他字如果 F^p \cap K = K^p（V，p. 151，例 3）。证明如果 F 是例外且如果 E = F_s、z \in F、z \notin E 和 z^p \in E，则对于每个 t \in K，我们有 z^p \notin E^p(t) （观察否则我们应该有 E^p(t) = E^p(t^p) 且因此 t \in F^p）。

b) 相反，令 E 为 K 的有限次数的可分离代数扩张，并令 x \in E 使得对于每个 t \in K 我们有 x \notin E^p(t)。设 F = E(x^{1/p})，因此 E = F_s。证明 F 是 K 的例外扩张。（如果存在 y \in F，使得 y \notin E 且 y^p = z \in K，则表明我们将有 z \in E^p(x)；这意味着 z \in E^p，因此 y \in E，这是一个矛盾。）

如果域 E^p(t) 的并（其中 t 范围超过 K）与 E 不同，则有限次数 K 的可分扩张 E 称为强可分；因此，同样可以说 E = F_s，其中 F 是 K 的不可分割的例外扩张。K 不能的强可分扩张是完美域。

c) 证明如果 E 是 K 的强可分扩张，那么 [E:E^p] = p 是不可能的。 （通过矛盾论证，表明 [E:E^p] = p 意味着对于所有 t \in K 来说 E^p(t) = E，使得 t \notin K^p；另一方面观察，如果 K \子集 E^p，E 不能在 K 除非上是强可分的，那么它是完美的。）

d) 证明如果 [K:K^p] = p，则 K 不存在强可分扩张，因此 K 也不存在异常扩张。