习题 4, § 7

令 K 为域，E = K(x) K 的可分离代数扩张，f 为 K[X] 中 x 的最小多项式。

a) 令 F 为 K 的扩张；在环 F[X] 中，多项式 f 分解为乘积 f_1 f_2 \ldots f_r 不可约且可分的成对不同多项式。证明代数 E \otimes_K F 同构于域 F[X]/(f_j) (1 \leq j \leq r) 的乘积。

b) 假设 F = K(y) 是 K 的可分代数扩张；令 g 为 K[X] 中 y 的最小多项式，并令 g = g_1 g_2 \ldots g_s 为 g 的分解到 $E[X]$ 中不可约多项式的乘积。证明 $r = s$ 以及如果 $m = \deg f,\ n = \deg g,\ m_j = \deg f_j,\ n_j = \deg g_j$ 可以的话，之后如有必要，可以对 $g_j$ 进行排列，假设 $m_j / n_j = m / n$ 可以替换 $1 \leq j \leq r$。