习题 24, § 1

令 A 为 A 的所有理想的交换环和 I 集合。然后对于 I 中的所有 $a, b, c$，由I，p. 107 得到$a(b + c) = ab + ac$；在其他字I，序关系$a \supseteq b$和律为合成$(a, b) \mapsto ab$，是一个半格有序幺半群（VI，p. 31，例13），两个I 的元素 a、b 为$a \cap b$，其 inf $a + b$。

a) 设 K 为 K 上两个不定式多项式的域和 $A = K[X, Y]$ 环。考虑 A 中的主理想 $a = (X), b = (Y), c = (X + Y)$。证明

b) 在环 A中，1是X和Y的gcd，但是$(X) + (Y) \neq A$。