习题 28, § 1

设 G 是有序群且元素 P 为正的格子。如果与其中一个互质的任何元素也与另一个互质，则 P 的两个元素 x 和 y 被称为等价：在此关系下的等价类称为 P 的线程；让$\overline{x}$表示线程包含x。 a) 令$\overline{a}$和$\overline{b}$为线程；设 x, $x_1$ 为 n 的元素，y, y 为 $\overline{b}$ 的元素；证明如果每个元素与 x 互质也与 y 互质，那么每个元素与 $x_1$ 互质也与 $y_1$ 互质。 a和b之间定义关系这样，写成$a \geq b$；表明这是集合 F 线程的排序。 b) 证明 F 是该排序下的格，并且

（使用 VI、p. 15 的 Cor.3）。 证明F有最小的元素，即线程$\overline{0} = \{0\}$。 c) 如果 $\inf(\overline{a}, \overline{b}) = \overline{0}$，则调用两个线程 a、b 互质。 Show that if a and b are two threads $\neq \overline{0}$, and if $\overline{a} < \overline{b}$, then there exists a thread $\overline{c}$, coprime to a, such that $\overline{c} < \overline{b}$. d) Call a thread m $\neq \overline{0}$ irreducible if it is a minimal element of the set of threads $\neq \overline{0}$. 证明不可约线程是全序的（如果 a 和 b 是 $\overline{m}$ 的两个元素，则考虑线程包含 a $\inf(a, b)$ 和 $b - \inf(a, b)$ 并使用 b））。 还证明$\overline{m}$、$-\overline{m}$和$\{0\}$的并是G的全序子群II($\overline{m}$)。 e) 给定 G 的不同不可约线程族 $(m_i)$，证明由 $\overline{m_i}$ 的并生成的子群 H 同构于群 H($\overline{m_i}$) 的直和（约化对于有限族的情况，并论证为归纳）。

f) 证明在非零的全序群的乘积（或直和）中，不可约螺纹的元素是其中除了一个坐标（为正）之外所有坐标均为零的线。 推论有序群最多可以以一种方式成为非零的完全有序群的乘积（或直和）（其他字因子是唯一确定的）。