习题 29, § 1

有序群 G 是完全格序的，如果它被过滤，并且上面有界的 G 的每个非空子集在 G 中都有上界。如果对于 M 的元素 $(x_i)$ 的每个非空族都存在 $\inf(x_\alpha)$，则下半格有序幺半群被称为完全半格序。下面有界，并且如果

对于任意两个非空族$(x_i), (y_j)$，其边界如下。完全晶格有序群是完全半晶格有序幺半群。 a) 证明过滤后的群 G 完全格序的充分必要条件是 G 的正元素的集合 P 的每个非空子集承认 P 中的下确界。 b) 完全格序群中的每个乘积都是完全格序的。 c) 完全晶格有序群的每个过滤凸子群都是完全晶格有序的。