习题 30, § 1

令 G 为有序群。对于 G 的每个子集 A，令 $m(A)$（或 $M(A)$）表示 G 中 A 的下界（或上界）集合；然后$m(A) = -M(-A)$。 a) 关系 $A \subset B$ 意味着 $m(B) \subset m(A)$ 和 $M(m(A)) \subset M(m(B))$。 b) 我们有 $A \subset M(m(A))$ 和 $M(m(M(A))) = M(A)$。 c) 如果$(A_i)$是G的子集的任意族，则$m\left( \bigcup_i A_i \right) = \bigcap_i m(A_i)$。 d) 每个集合 $M(B)$，其中 B 是 G 中上界的非空子集，称为 G 中的大集合。对于 G 中下界的任意非空子集 A，集合 $M(m(A))$ 是最小的大调集合包含 A ;表示为 $(A)$ ；如果$A \subset B$则$(A) \subset (B)$；如果A在G中有一个下确界a，则$(A) = M(a)$，我们也写成(a)。 e) 如果 A 和 B 是 G 中下界的两个非空子集，则$(A + B) = ((A) + B)$。推出，在G大调集合的集合$\mathfrak{M}(G)$中，映射$(A, B) \mapsto (A + B)$是结合律和交换律合成律，其中$(0) = P$是恒等式，序关系 $A \supset B$ 与律兼容，并且如果 G 被过滤，$\mathfrak{M}(G)$ 是在这个结构下的完全半格有序幺半群（例 29）。此外，从G到$\mathfrak{M}(G)$的映射$x \mapsto (x)$是从有序群G到幺半群$\mathfrak{M}(G)$的子群的同构。 f) 如果 $\mathfrak{M}(G)$ 的元素 A 在该幺半群的合成律下可逆，则其逆为 $M(-A) = -m(A)$（注意，如果 B 是 A 的逆，则关系 $B \subset M(-A)$ 和 $A + M(-A) \subset (0)$ 成立， 从而$\langle A + B \rangle = \langle A + M(-A) \rangle$）。 g) 为了使$\mathfrak{M}(G)$的元素A可逆，$x + A \subset A$蕴含$x \geq 0$是必要且充分的（写出$0 \in (A + M(-A))$的表达式）。