习题 31, § 1

如果唯一的元素 $x \in G$ 使得 $nx$ (n 正整数) 的集合下界为 G 的正元素，则有序群 G 称为阿基米德。

a) 当且仅当 G 是阿基米德时，有序群 G 中大集合的幺半群 $\mathscr{M}(G)$ 是群（使用例 30，g）和 d））。如果在加法中G被过滤，则$\mathscr{M}(G)$是完全格序的群。 b) 推论过滤后的群 G 同构于完全晶格有序群的子群当且仅当 G 是阿基米德。