习题 32, § 1

a) 设G是完全格序群，G的H子群。对于群H的每个主子集A，令$x_A$表示G中A的下确界；证明从$\mathscr{M}(H)$到G的映射$A \mapsto x_A$是单射的（证明A是$y \in H$的集合使得$y \geq x_A$）。 b) 对于 H 的每个子集 B，在 H 中下界，令 (B) 表示 B 在 H 中生成的主集合（$\mathscr{M}(H)$ 的元素）。如果对于 H 的任意子集 B，在 H 中下界，方程 $\inf B = \inf (B)$ 成立（在 G 中取下限），证明映射 $A \mapsto x_A$ 是有序群 $\mathscr{M}(H)$ 到 G 的子群上的同构（cf. Ex. 30，e))。 c) 如果 G 的每个元素是 H 的某个子集的下确界，则表明对于 H 的任何子集 B，在 H 的下方有界，我们有 $\inf B = \inf (B)$（在 G 中取的下确界）。 （请注意，如果$\inf B \in H$成立；一般来说，考虑元素$x \in G$使得$x + \inf B \in H$，并使用$x$是G的某些子集的下确界这一事实，以及例30，e.）。 d) \* 令 G 为完全格序群 $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z} \times \mathbf{R}$。设$0 > 0$为无理数数；令 H 为 $(x, y, z)$ 的子群，使得 $\theta(z - x) + y = 0$。证明不存在有序群 $\mathscr{M}(H)$ 到 G 的任何子群上的同构，其中限制到 H 上的恒等式映射（注意 $\mathscr{M}(H)$ 与 $K = \mathbf{Z} \times \mathbf{R}$ 同构的；考虑 K 的子群元素 $u$的由……组成，使得对于每个整数$n > 0$，都存在$v \in K$和$nv = u$，以及G的类似子群）。