习题 33, § 1

a) 全序群 G 是阿基米德当且仅当，对于 G 的元素的任何对 $x > 0, y > 0$，存在整数 $n > 0$ 使得 $y \leq nx$。 \* b) 任何全序、阿基米德、完全格序群 G 与 $\{0\}, \mathbf{Z}$ 或 $\mathbf{R}$ 同构的（排除前两种情况，修复 G 中的 $a > 0$，并使每个 $x \in G$ 对应为有理数数 $p/q$ 的下确界，如下那个$qx \leq pa$）。 c) 推论每个阿基米德全序群 G 同构于$\mathbf{R}$ 的子群（注意$\mathscr{M}(G)$ 是全序的）。 d) 字典顺序乘积 $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$ 是完全有序的，而不是阿基米德式的。