习题 35, § 1

如果存在有限的集合 F 使得 $A = (F)$，则有序群 G 中的主集合 A 被认为是有限生成的。如果每个有限生成的大集合在幺半群$\mathscr{M}(G)$中是可逆的，我们就说G是半阿基米德。每个有序格（分别为阿基米德）群都是半阿基米德（例 31，a））。 a) 证明每个过滤的半阿基米德群都是格序的（如果 $nx \geq 0$，考虑主要集合 $(F)$，其中$F = \{0, x, ..., (n-1)x\}$，并使用 Ex. 30，g）以及它是可逆的事实）。 b) \* 设 K 为字典乘积 $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$，G 为（通常）乘积群 $K \times \mathbf{R}$。令0为无理数数，使得$0 < 0 < 1$，并令H为由$((1, 0), 0), ((0, 0), 8)$和$((0, x), 0)$生成的子群，其中$x$贯穿$\mathbf{R}$。证明两个全序群的乘积的H，子群不是半阿基米德（考虑H的两个元素((1, 0), 0)和((0, 0), 0)生成的主集合，并证明它是不可逆的）。 \* c) 令 G 为半阿基米德滤波群；表明由有限生成的主集合及其逆生成的$\mathfrak{M}(G)$的子幺半群是一个有序群的格子（cf.VI，p. 31，例13，b））。 d) \* 令$0 > 0$为无理数数，并令G为群$Z \times Z$，其中正元素的集合 P被视为(x, y)的集合，使得$x \geq 0$和$y \geq 0x$。证明 G 是阿基米德群，但有限生成的大数集合的 $\mathfrak{M}(G)$ 中的逆，而不是形式 (a)，不是有限生成的。 \*