习题 31, § 2

a) 设 K 为域，其中代数闭包 E 为素数次数 q 的 K 的扩张。证明 K 是完美的 (V, p. 7)。 b) 证明 q 与 K 的特征不同（V，p. 162，例 9）。

c) 证明 K 包含单位元的第 q 个根，并且 E 是 K 上形式 $X^q - a$ 的不可约多项式的分裂域；推导出 $q = 2$ （否则，使用例 5、V、p. 161 推导出$X^{q^2} - a$ 是不可约的）。还证明 a 是 K 中的平方（V，前述），$-1$ 不是 K 中的平方，以及 $E = K(i)$ ($i^2 = -1$)。

d) 现在假设 K 使得其代数闭包 E 在 K 上具有任意有限次数 $\neq 1$。证明 $i \notin K$ 和 $E = K(i)$（如果$E \neq K(i)$，根据伽罗瓦理论证明存在域 F 使得 $K(i) \subset F \subset E$，并且 E 有素数次数超过 F ；然后应用 c))。推导出 K 是极大有序域 （在某些合适的排序下）（通过归纳表明 K 中 n 平方的任何和是 K 中的平方 ；要证明 $a^2 + b^2$ 是平方，请考虑平方根 $K(i)$中的$a + ib$的$x + iy$）。