习题 33, § 2

令 K 为交换域（具有任意特征 q），并令 $l$ 为素数数。令 K' 为 K 的代数扩张，具有以下两个性质： (i) $K[X]$ 中的每个多项式，其次数不能被 $l$ 整除，在 K' 中具有根； (ii) 次数的$K'[X]$ 中等于 $l$ 的每个多项式在 K' 中都有根。 a) 与(i)类似，证明K的完美闭包$K_1$包含在K'中并且满足条件。 b) K 的每个代数扩张其次数不能被 $l$ 整除，同构于 K' 的子扩展（使用原语元素定理）。 c) 令L为K'包含K的子域，并令M为L的伽罗瓦扩张，其次数为$l$的幂。证明 M 同构于 K' 的子外延（使用 I 群是幂零的事实）。 d) 推导出 K' 是 K 的代数闭包（如果 F 是有限次数的 K 的（可分离）扩张，则考虑伽罗瓦扩张 F、有限次数的$\supset F$，以及 F 的固定子域，在 Sylow I 子群下F 的伽罗瓦群，超过 K)。