习题 38, § 2

假设域 K 是最大有序的。证明域 $\tilde{K}$ 也是最大有序的。 （可以用反证法来论证，考虑最大有序的$\tilde{K}$的有序代数扩张 E，并假设$E \neq \tilde{K}$。那么在$E \cap \mathbf{C}\tilde{K}$元素w的元素中存在其最小多项式$f \in \tilde{K}[X]$具有至少次数 $n > 1$。证明 E 中存在一个区间 )a, b( 使得 $a, b \in K$ 和 $a < w < b$，以及 E 的元素 $e > 0$，使得对于所有 $x \in (a, b)$ 存在 $f'(x) > e$，或者对于所有 $x \in (a, b)$ 存在 $f'(x) < -e$。证明存在K 中的 $r > 0$ 使得 $f(a) \leq -r$ 和 $r \leq f(b)$，或 $f(a) \geq r$ 和 $f(b) \leq -r$ 用 K 的元素近似 f 的系数，并表明我们通过这种方式获得多项式 $g \in K[X]$ 使得函数 $x \mapsto g(x)$ 为(a, b) 中单调，并且在该区间内 K 的点处消失，任意接近 w。）