习题 4, § 2

a) 设 K 为域，且 K 满足条件 (AP_I)、(AP_{II}) 和 (AP_{III}) 的 P 子集，且$K^2 \subset P$（其中 $K^2$ 表示集合） K) 元素平方；证明如果$x > 0$符合P定义的顺序，则$x^{-1} > 0$；推导出K中的元素$> 0$集合$K^*_+$为K的乘法群子群。

b) 在域$\mathbf{Q}$中，唯一满足a)的条件的集合$P$是有理数$\geqslant 0$的集合（按通常的顺序）。

c) \* 令 $P$ 为 $K$ 满足 (AP_I)、(AP_{II}) 和 (AP_{III}) 的子集，使得 $1 \in P$ 且$x > 0$ 在定义的顺序中隐含$x^{-1} > 0$ $P$。证明 $y^2 \geqslant z^2$ 蕴含 $y \geqslant z$，对于正 $y$ 和 $z$。推断，对于任意 $y > 0$，我们有

对于每个整数$n > 0$（请注意，$(y + y^{-1})^{2m} \geqslant \binom{2m}{m}$对于每个整数$m > 0$）。推出，如果$P$定义的有序加法群结构是阿基米德（VI，p. 35，例31），则$(y - z)' \geqslant 0$对于元素$y, z$的每个对 $P$；如果$K'$是$P$生成的$K$的子域，则$x^2 \geqslant 0$对于所有$x \in K'$。

d) \* 令 $K = R(X)$ 为有理数函数的域，在 $R$ 上的一个不定数；令$P$为0的集合由……组成和有理数函数$u \in K$，这样$u(t)$被定义并且$> 0$对于每个实数$t$。证明$P$满足c)的条件和生成$K$，但存在元素$v \in K$使得$v^2 \notin P$。