习题 5, § 2

令 $A$ 为环有序晶格。 $A$ 的凸理想（VI、p. 30、例 4）如果不是两个不同于自身的凸理想的交，则称为不可约。 a) 证明 $A$ 的不可约凸理想的交为 0（如果 $a \in A$ 为非零的，则考虑在不具有包含 $a$ 的凸理想中最大的$A$）。推出$A$与乘积$\prod A_i$的子环$A'$同构的，使得每个$A_i$对于所有$i$都是格序的，$\operatorname{pr}_i(A') = A_i$，并且理想的$\{0\}$在$A$中是不可约的， （作为凸理想）对于所有$i$。 b) 证明以下条件在$A$中是等价的： α) $|xy| = |x| \cdot |y|$ 对于所有$x, y$； β) $x \cdot \sup(y, z) = \sup(xy, xz)$ 对于所有$x \geqslant 0, y, z$； γ) $x \cdot \inf(y, z) = \inf(xy, xz)$ 对于所有 $x \geqslant 0, y, z$； δ) $\inf(y, z) = 0$ 意味着所有 $x \geqslant 0$ 都有 $\inf(xy, z) = 0$。 （要看到 γ) 意味着 δ)，请观察 $xy \leqslant y \cdot \sup(x, 1)$)。 当满足这些条件时，$A$被称为强*格子*有序。 c) 证明环 $A$ 是强晶格有序的当且仅当它同构于全序环的乘积 $\prod A_i$ 的子环。 （用a），约化表明，如果$\{0\}$在强有序环$A$中不可约，则$A$是全序的；为此，注，如果$B$是强晶格有序环，则对于$x \in B$的所有$b \in B$集合$m$，使得$\inf(|x|, |b|) = 0$和集合$n$为$y \in B$这样，对于某些 $z \in B$，$|y| \leqslant |zb|$ 是 $B$ 的两个凸理想，使得 $m \cap n = \{0\}$。 d) 证明在强有序格子中环 $A$ 关系 $\inf(x, y) = 0$ 意味着 $xy = 0$；对于所有 $z \in A$，我们有 $z^2 \geqslant 0$；对于所有 $x, y \in A$，我们有 $xy \leqslant \sup(x', y')$。 e) 令$A$为环有序的格子，没有幂零元$> 0$；表明如果 $\inf(x, y) = 0$ 蕴含 $xy = 0$，则 $A$ 是强晶格有序的（检查 b) 的条件 δ)）。