习题 6, § 2

a) 设$K$为格子有序域。证明以下条件是等价的： α) $x^2 \geqslant 0$ 对于所有$x \in K$； β) $x > 0$ 意味着 $x^{-1} > 0$；

γ) K 是强晶格有序的（例 5）； δ) K 是全序的。 （要看到 β) 隐含 δ)，请注意 β 隐含 xy ≤ x² + y²（对于 x，y ∈ K）。 b) 令K为有理数数的$\sqrt{2}$与域邻接而得到的域$\mathbf{Q}(\sqrt{2})$；因为加法群 K 通过双射 $x + y \sqrt{2} \mapsto (x, y)$ 与 $\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}$ 相同；证明如果 $\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}$ 上的乘积排序（其中 Q 具有通常的排序）通过该双射转移到 K，则 K 是晶格有序的，但不是强晶格有序的。 c) $\mathbf{Q}$ 上的一个不定X 中的有理函数的域 $K = \mathbf{Q}(X)$ 由其平方 $K'$ 的集合生成。证明 K 定义元素平方和集合 P 是与其环结构兼容的 K 上的非格序，并且使得 $u > ()$ 隐含$u : > 0$。